Z tablicy: średnia, mediana, dominanta

Statystyka w zarządzaniu · to, co było liczone na zajęciach. Przykład: X = środki wolne do dyspozycji (tys. zł), N = 10 osób.

1Symbole z tablicy — słowniczek

Na tablicy jest sporo oznaczeń. Większość z nich to różne nazwy tego samego.

SymbolCzytamyZnaczy
x̄, M, μ, E(X)„iks z kreską”, „em”, „mi”, „wartość oczekiwana”wszystkie oznaczają średnią arytmetyczną (ang. mean). Zwykle x̄ — średnia z próby, μ — średnia w populacji, E(X) — zapis z rachunku prawdopodobieństwa
Me„em e”mediana (median) — wartość środkowa
Mo albo D„em o”, „de”dominanta = modalna = moda (mode) — wartość najczęstsza
X„duże iks”nazwa zmiennej (tu: środki wolne do dyspozycji)
xᵢ„iks i-te”konkretna wartość zmiennej (np. x₁ = 1, x₁₀ = 10); i to numer obserwacji albo wiersza tabeli
N„en”liczba obserwacji (tu 10 osób)
Σ„suma”„dodaj wszystkie”. Σ xᵢ od i = 1 do N = x₁ + x₂ + … + x_N
nᵢ„en i-te”liczebność — ile razy występuje wartość xᵢ (ile osób ma tyle). Kolumna nᵢ to rozkład liczebności
nᵢ′ = nᵢ / N„en i-te prim”częstość względna — jaka część wszystkich ma wartość xᵢ (ułamek lub %)
P(X = xᵢ)„pe od X równe xᵢ”prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba ma wartość xᵢ. Liczbowo to to samo co nᵢ′
Prościej: nᵢ = „ile osób”, nᵢ′ = „jaka część osób”. Jeśli 3 osoby z 10 mają 6 tys. zł, to nᵢ = 3, a nᵢ′ = 3/10 = 0,3 = 30%. I to samo 0,3 to szansa, że losowo wybrana osoba ma 6 tys. zł.

2Dane z tablicy

Zmienna X = środki wolne do dyspozycji (w tys. zł). Zbadano N = 10 osób. Dane są już ułożone rosnąco:

nr (i)xᵢ
11
21
32
42
53
63
76
86
96
1010
Σ40

Wyniki z tablicy: x̄ = 4 tys. zł · Me = 3 tys. zł · Mo = 6 tys. zł · P(X = Mo) = 0,3. Poniżej skąd się biorą.

3Średnia arytmetyczna — trzy sposoby, ten sam wynik

Na tablicy są trzy wzory. To nie są trzy różne średnie — to ta sama średnia, liczona z danych zapisanych na trzy sposoby.

Sposób 1 — z listy wszystkich wartości

x̄ = Σ xᵢ / N — dodaj wszystko i podziel przez liczbę obserwacji.

1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 + 10 = 40 → 40 / 10 = 4 tys. zł

Kiedy: masz „surowe” dane, każda osoba osobno (lewa tabelka na tablicy).

Sposób 2 — z tabeli liczebności

x̄ = Σ xᵢ · nᵢ / N — każdą wartość pomnóż przez to, ile razy występuje, dodaj, podziel przez N.

xᵢnᵢxᵢ · nᵢ
122
224
326
6318
10110
Σ10 = N40

x̄ = 40 / 10 = 4 tys. zł

Dlaczego to działa: zamiast pisać „6 + 6 + 6”, piszesz „6 · 3”. Wynik ten sam, tylko szybciej — przydaje się, gdy danych jest dużo (np. 1000 osób, ale tylko 5 różnych wartości).

Sposób 3 — z częstości względnych (prawdopodobieństw)

x̄ = Σ xᵢ · nᵢ′ = Σ xᵢ · P(X = xᵢ) — każdą wartość pomnóż przez jej część (ułamek) i dodaj. Tu już nie dzielisz przez N!

xᵢnᵢ′ = nᵢ/Nxᵢ · nᵢ′
12/10 = 0,20,2
22/10 = 0,20,4
32/10 = 0,20,6
63/10 = 0,31,8
101/10 = 0,11,0
Σ14

x̄ = 0,2 + 0,4 + 0,6 + 1,8 + 1,0 = 4 tys. zł

Uwaga: w sposobie 3 dzielenie przez N jest „schowane” w nᵢ′ (bo nᵢ′ = nᵢ/N). Jeśli podzielisz jeszcze raz, wyjdzie 0,4 — błąd! Kontrola: suma kolumny nᵢ′ zawsze = 1 (100%), a suma kolumny nᵢ zawsze = N.

Ten zapis (Σ xᵢ · P(X = xᵢ) = E(X)) to „wartość oczekiwana” z rachunku prawdopodobieństwa — stąd symbol E(X) na tablicy. Sposób 3 przydaje się, gdy znasz tylko procenty (np. „20% klientów kupuje 1 sztukę, 50% — 2 sztuki…”), a nie znasz N.

4Mediana — Me

  1. Dane muszą być ułożone rosnąco (na tablicy już są).
  2. N = 10 → parzyste → środek wypada między pozycją 5 a 6 (N/2 = 5 i N/2 + 1 = 6).
  3. Na pozycji 5 jest 3, na pozycji 6 też 3 → Me = (3 + 3) / 2 = 3 tys. zł.

Kreska na tablicy między wierszem 5 a 6 pokazuje właśnie to miejsce „przecięcia” danych na pół.

Gdyby N było nieparzyste (np. 9), mediana byłaby na pozycji (N + 1)/2 = 5 — dokładnie jedna wartość w środku.

Z tabeli liczebności też da się to odczytać: dodawaj nᵢ od góry (2, 4, 6, 9, 10). Pozycje 5 i 6 mieszczą się w „do 6” → wiersz x = 3 → Me = 3.

5Dominanta — Mo (D)

Wartość, która występuje najczęściej — w tabeli: wiersz z największym nᵢ.

Największe nᵢ = 3 przy xᵢ = 6 → Mo = 6 tys. zł.

P(X = Mo) = 0,3 — to częstość względna dominanty: 3 osoby z 10 → 3/10 = 0,3. Czyli 30% badanych ma 6 tys. zł; szansa, że losowa osoba ma właśnie tyle, wynosi 0,3.

Pułapka: dominanta to wartość zmiennej (xᵢ = 6), a nie liczebność (nᵢ = 3). Odpowiedź „Mo = 3” byłaby błędem — zwłaszcza że tu 3 to też mediana, więc łatwo się pomylić!

6Jak zbudować tabelę z tablicy (rozkład liczebności i częstości)

  1. Kolumna xᵢ — wypisz różne wartości zmiennej, rosnąco (1, 2, 3, 6, 10). Każda tylko raz.
  2. Kolumna nᵢ (rozkład liczebności) — przy każdej wartości policz, ile razy występuje.
  3. Kontrola: Σ nᵢ = N (2 + 2 + 2 + 3 + 1 = 10 ✓).
  4. Kolumna nᵢ′ = nᵢ / N (częstości względne) — podziel każde nᵢ przez N.
  5. Kontrola: Σ nᵢ′ = 1 (0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,3 + 0,1 = 1 ✓).
xᵢnᵢ
rozkład liczebności		nᵢ′ = nᵢ/N
częstości względne		w %
120,220%
220,220%
320,220%
630,330%
1010,110%
ΣN = 101100%

7Jak to powiedzieć (interpretacja)

Na kartkówce często trzeba nie tylko policzyć, ale napisać zdanie. Wzory zdań:

WynikZdanie
x̄ = 4 tys. zł„Przeciętnie badana osoba ma 4 tys. zł wolnych środków do dyspozycji.”
Me = 3 tys. zł„Połowa badanych ma nie więcej niż 3 tys. zł wolnych środków, a połowa — nie mniej niż 3 tys. zł.”
Mo = 6 tys. zł„Najczęściej badani mają 6 tys. zł wolnych środków.”
P(X = Mo) = 0,3„6 tys. zł ma 30% badanych” / „prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba ma 6 tys. zł, wynosi 0,3”.
Me = 6000 zł (drugi przykład z tablicy)„Połowa osób ma nie więcej niż 6000 zł, połowa — nie mniej niż 6000 zł.”
Co widać, gdy porównasz trzy miary: średnia (4) jest wyższa od mediany (3), bo jedna osoba ma aż 10 tys. zł i „ciągnie” średnią w górę. Mediana na to nie reaguje. Każda z trzech miar mówi co innego o „typowej” osobie — dlatego podaje się je razem.

🏋️ Ćwiczenie „jak na tablicy” — krok po kroku

Dostajesz nowe dane (jak na tablicy) i przechodzisz przez wszystkie kroki po kolei: N → średnia sposobem 1 → tabela nᵢ i nᵢ′ → średnia sposobem 2 i 3 → mediana → dominanta → P(X = Mo). Po 9 krokach losują się nowe dane.

Ułamki możesz wpisać jako 0,3 albo 3/10.

🏋️ Inne ćwiczenia